2.3.3. Наблюдаемые величины в структурно неустойчивых квантово-механических системах (см. [31]).

Обычно под наблюдаемым значением оператора понимают его среднее по ансамблю. При этом не оговаривают в какой мере системы ансамбля одинаковы. В случае структурно устойчивых систем этот вопрос и не встаёт; системы можно считать тождественными. Однако, если системы структурно неустойчивы, то есть обладают свойствами (1), (2), (3), , необходимо дополнить эту процедуру условием усреднения по ансамблю одинаковых, но не абсолютно тождественных систем. Тогда неблюдаемое значение какого либо оператора следует представить в виде:

                                                                                  (2.47)

Такая процедура уже предлагалась и обсуждалась ранее в [32].

Если оператор не зависит от времени явно, то его наблюдаемое значение будет зависеть от времени в силу изменения во времени нестационарной функции Y (x,t). Тогда:

(2.48)

где:                                                                                                

Представим (2.48) в виде:

(2.49)

Первый член - сумма диагональных элементов, она не зависит от времени. Второй член - сумма недиагональных членов, которая зависит от времени. Рассмотрим оба члена отдельно в случае, когда система структурно неустойчива.

В первом члене обе величины: и - сильно изрезанные функции как индекса n так и i. Однако, после усреднения по n в соответствии с (2.47) они стеновятся гладкими функциями индекса i.

Примем, что при усреднении по n величины и статистически независимы. Смысл и роль этого, как увидим важного, положения мы обсудим позже. Тогда:

                        (2.50)

где: и - усредненные по n , уже гладкие функции индекса i. После этого первый член в (2 .49) можно представить в виде интеграла:

                     (2.51)

где W(E) - энергетический спектр системы и O(E) - наблюдаемое значение оператора О в состоянии с энергией Е.

Действуя аналогично, представим второй член в (2.49) в виде:

(2.52)

,

где: и Оi,j - усредненные по n значения недиагональных членов и

Интеграл (2.51) представляет собой вклад в наблюдаемую величину диагональных членов, который мы обозначим: ; от времени он не зависит.

Интеграл (2.52) - вклад недиагональных членов, который мы обозначим как: ; он обладает следующими свойствами:

1). убывает со временем (с характерным временем порядка: Dt "(DE)-1 ). Действительно, подынтегральная величина - плавная функция энергий Еi и Ej , которая велика в интервале и мала вне его. Экспоненциальный фактор с ростом времени t (при t>DE) становится сильно изрезанным и знакопеременным, что и приводит к убыванию интеграла..

2). Величина исчезает при DЕ®0. Действительно, при DЕ=0 исходное состояние является собственным и недиагональные члены отсутствуют.

3). В случае, когда коэффициенты С(Е) имеют полюсной характер, то есть:

                               (2.53)

итеграл в (2.52) убывает со временем экспоненциально:

                      =      (2.54)

В целом наблюдаемое значение оператора равно:

                                                 (2.55)

где последний член убывает со временем. В частном, но распространенном случае (2.53):

                                   (2.56)

Эти соображения можно применить к энтропии в формуле (2.30), считая, что оператор О = -k{ rlnr}i,j .

Используя (2.56) можно записать энтропию S в виде:

                                                                                 (2.57)

или, в случае (2.53) в виде:

                          (2.58)

В данном случае при t=0 энтропия равна нулю, поскольку исходное состояние является чистым. Это означает, что:

                                                             (2.59)

C учетом (2.59) выражение (2.58) можно представить в виде:

                                               (2.60)

Уместно сделать ряд замечаний.

(i). Величина Sdiag , представленная в виде суммы, равна:

                                          (2.61)

Она представляет собой классическое выражение для энтропии в термодинамически равновесной системе. Второй член в (2.58) соответствует сумме недиагональных членов. По знаку он противоположен первому. Таким образом, (2.60) описывает процесс возрастания наблюдаемой энтропии при развитии исходно чистого состояния.

Тот же результат можно получить используя вместо процедуры (2.30) другой метод сглаживания.

Разобьем все величины, имеющие индекс i или j на группы по n членов. Выберем числа n большими по сравнению с единицей, но малыми по сравнению с полным числом членов в сумме (n << N= 1/ e ). При этом величины энергий в группе маняются слабо, так, что их можно внутри группы считать одинаковыми. Проведем усреднение внутри группы, то есть представим, например:

                                  (2.64)

Здесь большие индексы нумеруют группы; их число меньше чем число индексов i, но все же больше, чем "гугол". В (2.64) уже учтено, что в пределах группы корреляции отсутствуют, поскольку они появляются на более высоком порядке (большем, чем "гугол"). После этого можно провести все вычисления, заменяя малые индексы бльшими, и получить тот же результат.

(ii). Согласно теореме фон Неймана [29] в квантово-механических системах энтропия не может изменяться со временем. Если исходное состояние чистое, то энтропия всегда равна нулю. Это значит, что при любом конкретном наборе параметров (то есть при заданном значении n) второй член всегда компенсирует первый. Это значит также, что если при вычислении энтропии провести сперва суммирование по i и j, то, согласно теореме фон Нёймана, мы должны получить ноль и последующее усреднение по n не должно изменить этого результата. Это значит, что предположение о статистической независимости величин и в (2.30) формально не корректно. Возникает парадокс, аналогичный тому, который мы обсуждали выше: формально корректные вычисления приводят к неверному (не соответствующему действительности) результату, а приближенные - к правильному.

Разрешение парадокса. как и ранее, связано с использованием понятия "гугол". В структурно неустойчивых системах величины и представляют собой весьма нерегулярные функции дискретных индексов. Эти функции случайны, поскольку случайны изменения параметров при сдвиге n на единицу. При усреднении по n, в предположении (2.52), эти функции не только сглаживаются, но и исчезают дальние корреляции между ними. Именно это позволяет получить результат (2.60).

Теорема фон Немана в квантовой механике - аналог теоремы Лиувилля в классике. Сглаживание сильно изрезанных функции в (2.52) - аналог введения синаевского фазового объема. В обоих случаях речь идет о пренебрежениями корреляциями высокого порядка (именно, порядка "гугол"). Обе процедуры формально не корректны (то есть не соответствуют современной математической аксиоматике), но правильны (то есть соответствует реальной действительности). В то же время теоремы Лиувилля и фон Неймана формально корректны, но не правильны, в том смысле, что не описывают наблюдаемого роста энтропии.

(iii). В простейших квантово-механических системах (атомы, простые молекулы и т.д.) разность уровней не мала. При этом малые изменения параметров не ведут к перемешиванию уровней. Свойства (1) - (3) в них не имеют места, то есть, они структурно устойчивы. Операция усреднения по n в этом случае равносильна умножению на единицу. Энергетический спектр остается дискретным и корреляции величин и сохраняются. Энтропия при этом не растет, что соответствует действительности.

То же относится и к коллективным регулярным системам (например, кристаллам), в которых энергетический спектр хотя и плотный, но условия (1) - (3) не выполняются. Однако, и в этих случаях используют термодинамический подход. При этом полагают, что образец помещен в "термостат". О последнем по умолчанию предполагают, что в нем соблюдены условия, необходимые и достаточные для роста энтропии.

(iv). В практических задачах часто используется предположение о том, что недиагональные элементы матрицы плотности исчезают со временем порядка времени расплывания пакета t (t " DЕ-1 ). Из изложенного выше следует, что это оправдано, но лишь при соблюдении условий (1) - (3), их и следует рассматривать, как условия применимости термодинамического подхода к квантово-механическим системам.

В заключение этого раздела уместно сделать ряд замечаний.

I. Физической причиной возрастания энтропии и необратимости процессов во времени является неустойчивость динамических систем (как классических, так и квантовых). Однако, для корректного математического описания неустойчивых процессов необходимо дополнить математическую аксиоматику утверждением:

Корреляции высокого порядка между случайными величинами (именно: порядка "гугол", то есть 10100 и выше) должны быть признаны отсутствующими, даже если они возникают в аналитических расчетах.

Основанием для этого можно считать следующее:

Во-первых такие корреляции физически не реализуемы, то есть их в принципе невозможно ни наблюдать ни проверить.

Во-вторых в этом и только в этом случае расчеты ведут к наблюдаемым результатам, то есть описывают необратимые во времени процессы. Отметим, что при этом формализм гамильтоновых систем уже не обеспечивает автоматического сохранения энергии (поскольку энергия и время - сопряженные переменные). Этот закон необходимо учитывать как дополнительное условие с помощью метода множителей Лагранжа (что, собственно и делается во всех учебниках по статистической физике).

В-третьих это правило уже давно используется на интуитивном уровне при решении конкретных задач.

1. Отметим, что возрастание энтропии - одна из проблем парадокса измерения. Другая проблема заключается в описании редукции пакета, то есть автолокализации волновой функции частицы в малой пространственной области. Для этого регистрирующий прибор должен обладать дополнительными свойствами: энергия локализованного состояния должна быть ниже энергии исходного, а процесс локализации - сопровождаться выделением продуктов, уносящих избыток энергии (фотонов, фононов и т.п.). Для регистрации необходимо, чтобы эти продукты не возвращались обратно. Именно на этом этапе важен вопрос о возрастании энтропии, вопрос о "стреле времени" и переходе свободной энергии в связанную.

Сам процесс автолокализации требует специального рассмотрения.

Обычно под наблюдаемым значением оператора понимают его среднее по ансамблю. При этом не оговаривают в какой мере системы ансамбля одинаковы. В случае структурно устойчивых систем этот вопрос и не встаёт; системы можно считать тождественными. Однако, если системы структурно неустойчивы, то есть обладают свойствами (1), (2), (3), , необходимо дополнить эту процедуру условием усреднения по ансамблю одинаковых, но не абсолютно тождественных систем. Тогда неблюдаемое значение какого либо оператора следует представить в виде:

                                                                                  (2.47)

Такая процедура уже предлагалась и обсуждалась ранее в [32].

Если оператор не зависит от времени явно, то его наблюдаемое значение будет зависеть от времени в силу изменения во времени нестационарной функции Y (x,t). Тогда:

(2.48)

где:                                                                                                

Представим (2.48) в виде:

(2.49)

Первый член - сумма диагональных элементов, она не зависит от времени. Второй член - сумма недиагональных членов, которая зависит от времени. Рассмотрим оба члена отдельно в случае, когда система структурно неустойчива.

В первом члене обе величины: и - сильно изрезанные функции как индекса n так и i. Однако, после усреднения по n в соответствии с (2.47) они стеновятся гладкими функциями индекса i.

Примем, что при усреднении по n величины и статистически независимы. Смысл и роль этого, как увидим важного, положения мы обсудим позже. Тогда:

                        (2.50)

где: и - усредненные по n , уже гладкие функции индекса i. После этого первый член в (2 .49) можно представить в виде интеграла:

                     (2.51)

где W(E) - энергетический спектр системы и O(E) - наблюдаемое значение оператора О в состоянии с энергией Е.

Действуя аналогично, представим второй член в (2.49) в виде:

(2.52)

,

где: и Оi,j - усредненные по n значения недиагональных членов и

Интеграл (2.51) представляет собой вклад в наблюдаемую величину диагональных членов, который мы обозначим: ; от времени он не зависит.

Интеграл (2.52) - вклад недиагональных членов, который мы обозначим как: ; он обладает следующими свойствами:

1). убывает со временем (с характерным временем порядка: Dt "(DE)-1 ). Действительно, подынтегральная величина - плавная функция энергий Еi и Ej , которая велика в интервале и мала вне его. Экспоненциальный фактор с ростом времени t (при t>DE) становится сильно изрезанным и знакопеременным, что и приводит к убыванию интеграла..

2). Величина исчезает при DЕ®0. Действительно, при DЕ=0 исходное состояние является собственным и недиагональные члены отсутствуют.

3). В случае, когда коэффициенты С(Е) имеют полюсной характер, то есть:

                               (2.53)

итеграл в (2.52) убывает со временем экспоненциально:

                      =      (2.54)

В целом наблюдаемое значение оператора равно:

                                                 (2.55)

где последний член убывает со временем. В частном, но распространенном случае (2.53):

                                   (2.56)

Эти соображения можно применить к энтропии в формуле (2.30), считая, что оператор О = -k{ rlnr}i,j .

Используя (2.56) можно записать энтропию S в виде:

                                                                                 (2.57)

или, в случае (2.53) в виде:

                          (2.58)

В данном случае при t=0 энтропия равна нулю, поскольку исходное состояние является чистым. Это означает, что:

                                                             (2.59)

C учетом (2.59) выражение (2.58) можно представить в виде:

                                               (2.60)

Уместно сделать ряд замечаний.

(i). Величина Sdiag , представленная в виде суммы, равна:

                                          (2.61)

Она представляет собой классическое выражение для энтропии в термодинамически равновесной системе. Второй член в (2.58) соответствует сумме недиагональных членов. По знаку он противоположен первому. Таким образом, (2.60) описывает процесс возрастания наблюдаемой энтропии при развитии исходно чистого состояния.

Тот же результат можно получить используя вместо процедуры (2.30) другой метод сглаживания.

Разобьем все величины, имеющие индекс i или j на группы по n членов. Выберем числа n большими по сравнению с единицей, но малыми по сравнению с полным числом членов в сумме (n << N= 1/ e ). При этом величины энергий в группе маняются слабо, так, что их можно внутри группы считать одинаковыми. Проведем усреднение внутри группы, то есть представим, например:

                                  (2.64)

Здесь большие индексы нумеруют группы; их число меньше чем число индексов i, но все же больше, чем "гугол". В (2.64) уже учтено, что в пределах группы корреляции отсутствуют, поскольку они появляются на более высоком порядке (большем, чем "гугол"). После этого можно провести все вычисления, заменяя малые индексы бльшими, и получить тот же результат.

(ii). Согласно теореме фон Неймана [29] в квантово-механических системах энтропия не может изменяться со временем. Если исходное состояние чистое, то энтропия всегда равна нулю. Это значит, что при любом конкретном наборе параметров (то есть при заданном значении n) второй член всегда компенсирует первый. Это значит также, что если при вычислении энтропии провести сперва суммирование по i и j, то, согласно теореме фон Нёймана, мы должны получить ноль и последующее усреднение по n не должно изменить этого результата. Это значит, что предположение о статистической независимости величин и в (2.30) формально не корректно. Возникает парадокс, аналогичный тому, который мы обсуждали выше: формально корректные вычисления приводят к неверному (не соответствующему действительности) результату, а приближенные - к правильному.

Разрешение парадокса. как и ранее, связано с использованием понятия "гугол". В структурно неустойчивых системах величины и представляют собой весьма нерегулярные функции дискретных индексов. Эти функции случайны, поскольку случайны изменения параметров при сдвиге n на единицу. При усреднении по n, в предположении (2.52), эти функции не только сглаживаются, но и исчезают дальние корреляции между ними. Именно это позволяет получить результат (2.60).

Теорема фон Немана в квантовой механике - аналог теоремы Лиувилля в классике. Сглаживание сильно изрезанных функции в (2.52) - аналог введения синаевского фазового объема. В обоих случаях речь идет о пренебрежениями корреляциями высокого порядка (именно, порядка "гугол"). Обе процедуры формально не корректны (то есть не соответствуют современной математической аксиоматике), но правильны (то есть соответствует реальной действительности). В то же время теоремы Лиувилля и фон Неймана формально корректны, но не правильны, в том смысле, что не описывают наблюдаемого роста энтропии.

(iii). В простейших квантово-механических системах (атомы, простые молекулы и т.д.) разность уровней не мала. При этом малые изменения параметров не ведут к перемешиванию уровней. Свойства (1) - (3) в них не имеют места, то есть, они структурно устойчивы. Операция усреднения по n в этом случае равносильна умножению на единицу. Энергетический спектр остается дискретным и корреляции величин и сохраняются. Энтропия при этом не растет, что соответствует действительности.

То же относится и к коллективным регулярным системам (например, кристаллам), в которых энергетический спектр хотя и плотный, но условия (1) - (3) не выполняются. Однако, и в этих случаях используют термодинамический подход. При этом полагают, что образец помещен в "термостат". О последнем по умолчанию предполагают, что в нем соблюдены условия, необходимые и достаточные для роста энтропии.

(iv). В практических задачах часто используется предположение о том, что недиагональные элементы матрицы плотности исчезают со временем порядка времени расплывания пакета t (t " DЕ-1 ). Из изложенного выше следует, что это оправдано, но лишь при соблюдении условий (1) - (3), их и следует рассматривать, как условия применимости термодинамического подхода к квантово-механическим системам.

В заключение этого раздела уместно сделать ряд замечаний.

I. Физической причиной возрастания энтропии и необратимости процессов во времени является неустойчивость динамических систем (как классических, так и квантовых). Однако, для корректного математического описания неустойчивых процессов необходимо дополнить математическую аксиоматику утверждением:

Корреляции высокого порядка между случайными величинами (именно: порядка "гугол", то есть 10100 и выше) должны быть признаны отсутствующими, даже если они возникают в аналитических расчетах.

Основанием для этого можно считать следующее:

Во-первых такие корреляции физически не реализуемы, то есть их в принципе невозможно ни наблюдать ни проверить.

Во-вторых в этом и только в этом случае расчеты ведут к наблюдаемым результатам, то есть описывают необратимые во времени процессы. Отметим, что при этом формализм гамильтоновых систем уже не обеспечивает автоматического сохранения энергии (поскольку энергия и время - сопряженные переменные). Этот закон необходимо учитывать как дополнительное условие с помощью метода множителей Лагранжа (что, собственно и делается во всех учебниках по статистической физике).

В-третьих это правило уже давно используется на интуитивном уровне при решении конкретных задач.

1. Отметим, что возрастание энтропии - одна из проблем парадокса измерения. Другая проблема заключается в описании редукции пакета, то есть автолокализации волновой функции частицы в малой пространственной области. Для этого регистрирующий прибор должен обладать дополнительными свойствами: энергия локализованного состояния должна быть ниже энергии исходного, а процесс локализации - сопровождаться выделением продуктов, уносящих избыток энергии (фотонов, фононов и т.п.). Для регистрации необходимо, чтобы эти продукты не возвращались обратно. Именно на этом этапе важен вопрос о возрастании энтропии, вопрос о "стреле времени" и переходе свободной энергии в связанную.

Сам процесс автолокализации требует специального рассмотрения.